تبلیغات

به سایت رسمی گروه ریاضی خیام خوش آمدید



پیشنهاد می کنیم برای نمایش بهتر سایت از مرورگرهای Firefox یا Google Chrome استفاده کنید

     

حذف لودینگ

گروه ریاضی خیام - دانشگاه گیلان - چگونه ریشه دوم یک عدد مختلط را محاسبه کنیم؟

چگونه ریشه دوم یک عدد مختلط را محاسبه کنیم؟

جمعه 14 بهمن 1390 14:05
تعداد بازدیدها : 

تعداد نظرات ارسال شده : 

آخرین ویرایش : جمعه 14 بهمن 1390

موضوع : مقالات فارسی، آموزش ریاضی،

همان‌طور که می‌دانیم هر چندجمله‌ای با ضرایب مختلط دارای حداقل یک ریشه مختلط است. این گزاره «قضیه اساسی جبر» نامیده می‌شود. به طور خاص نیز معادله

که در آن یک عدد مختلط است، همواره دارای جواب است. به عبارت دیگر ریشه دوم (جذر) هر عدد مختلط وجود دارد و می‌توانیم این ریشه را به صورت نمایش دهیم. البته نمایش این ریشه به فرم که در آن و اعداد حقیقی هستند، بهتر خواهد بود. هدف ما در این مقاله این است که طرز یافتن ریشه دوم یک عدد مختلط داده شده را نشان دهیم. این روش جدید نیست اما به نظر می‌رسد کمتر شناخته شده است.

حال اجازه دهید با عدد مختلط که در آن و حقیقی هستند برای یافتن نمایش روشنی از ریشه دوم آن شروع کنیم. البته هر عدد مختلط (به جز صفر) دارای دو ریشه دوم است. اگر یک ریشه دوم باشد آن‌گاه ریشه دیگر خواهد بود. ریشه‌ای را محاسبه می‌کنیم که قسمت حقیقی نامنفی داشته باشد.

فرض کنید دارای ریشه دوم باشد. آن‌گاه داریم:

با محاسبه قسمت‌های حقیقی و موهومی به دو معادله زیر دست می‌یابیم:




از آن‌جا که لذا و با حل معادله بر حسب داریم:

و با توجه به معادله خواهیم داشت:

پس از حل معادله فوق بر حسب داریم:



و برای یافتن مقدار معادله را در نظر می‌گیریم:






توجه می‌کنید که اگر آن‌گاه و اگر آنگاه .


ادامه این مقاله را در فایل ضمیمه زیر ببینید: