تبلیغات

به سایت رسمی گروه ریاضی خیام خوش آمدید



پیشنهاد می کنیم برای نمایش بهتر سایت از مرورگرهای Firefox یا Google Chrome استفاده کنید

     

حذف لودینگ

گروه ریاضی خیام - دانشگاه گیلان - قضیه رُل و قضیه مقدار میانی - قسمت اول

قضیه رُل و قضیه مقدار میانی - قسمت اول

دوشنبه 24 بهمن 1390 18:13
تعداد بازدیدها : 

تعداد نظرات ارسال شده : 

آخرین ویرایش : سه شنبه 25 بهمن 1390

موضوع : مسائل ریاضی، آموزش ریاضی،

بیاد آورید:

قضیه اکسترمم نسبی. اگر یک نقطه اکسترمم نسبی باشد، آن‌گاه یا در نقطه مشتق‌پذیر نیست یا .

به کمک این قضیه ساده قضایای رُل (Roll's Theorem) و مقدار میانی (MVT) را ثابت خواهیم کرد:

قضیه رُل (Roll’s Theorem). فرض کنید . اگر f روی بازه بسته پیوسته و روی بازه باز مشتق‌پذیر باشد به طوری که ، آن‌گاه نقطه (عدد) درون موجود است که .

اثبات. می‌خواهیم نشان دهیم نقطه چنان موجود است که . از آن‌جا که روی بازه بسته پیوسته است لذا روی این بازه دارای بیشترین مقدار و کمترین مقدار خواهد بود. مشخص است که یا یا .


حالت 1. اگر آن‌گاه تمام مقادیر روی این بازه برابرند به عبارت دیگر ثابت است. پس به ازای هر . لذا انتخاب در این بازه دلخواه است.

حالت 2. حال فرض می‌کنیم . پس حداقل یکی از این دو با برابر نیست:

حالت 2.1. ابتدا حالتی را در نظر می‌گیریم که مقدار بیشینه (تصویر زیر را ببینید). بنابراین نه برابر است نه یعنی . پس در این بازه اکسترمم(ماکزیمم) نسبی است و بنا بر قضیه اول . پس قرار می‌دهیم .

حالت 2.2. حال در نظر می‌گیریم (تصویر زیر را ببینید). همانند حالت قبل چون پس در این بازه اکسترمم(مینیمم) نسبی است لذا و در نتیجه قرار می‌دهیم .

در قسمت بعدی این آموزش به اثبات قضیه مقدار میانی می‌پردازیم.