تبلیغات

به سایت رسمی گروه ریاضی خیام خوش آمدید



پیشنهاد می کنیم برای نمایش بهتر سایت از مرورگرهای Firefox یا Google Chrome استفاده کنید

     

حذف لودینگ

گروه ریاضی خیام - دانشگاه گیلان - توپولوژی و رویه‌ها

توپولوژی و رویه‌ها

چهارشنبه 15 شهریور 1391 19:14
تعداد بازدیدها : 

تعداد نظرات ارسال شده : 

آخرین ویرایش : یکشنبه 19 شهریور 1391

موضوع : معرفی ریاضیدانان، مقالات فارسی، جالب و خواندنی، مسائل ریاضی، آموزش ریاضی،

توپولوژی شاخه‌ای از هندسه است که با ویژگی‌های سطوح و اشکال عمومی سروکار دارد، اما به اندازه‌گیری طول‌ها یا زوایا نمی‌پردازد. در این مسیر، مهم کیفیاتی هستند که هنگام انتقال شکل‌هایمان به شکل‌های دیگر بی‌تغییر می‌مانند. در این مورد مجازیم که شکل را در هر جهت فشار دهیم و بکشیم؛ و به همین دلیل است که توپولوژی را گاهی به عنوان "هندسه صفحه لاستیکی" توصیف می‌کنند. توپولوژیست‌ها افرادی هستند که نمی‌توانند تفاوت بین یک شیرینی حلقه‌ای (دونات) و یک فنجان قهوه را بیان کنند!


دونات یا شیرینی حلقه‌ای، رویه‌ای است با سوراخی در آن، فنجان قهوه هم همان است که در آن سوراخ مورد بحث، شکل دسته را اختیار می‌کند. در شکل مورد نظر، چگونگی انتقال دونات به فنجان قهوه آورده شده است.



دسته‌بندی رویه‌ها

گرچه توپولوژیست می‌تواند دونات و فنجان قهوه را یکسان در نظر بگیرد، اما چه نوع رویه‌ای متفاوت از دونات است؟ در این مورد، یک کاندیدا توپ لاستیکی است. یعنی هیچ طریقی برای تبدیل دونات به توپ موجود نیست، زیرا دونات یک سوراخ دارد، در حالی که توپ ندارد. این تفاوت، تفاوتی اساسی بین دو رویه است. بنابراین، یک طریق دسته‌بندی رویه‌ها، استفاده از سوراخ‌های آن‌هاست.

همان‌طور که می‌دانید فرمول اویلر این است که تعداد رأس‌‌های ، یال‌های و وجه‌های یک چندوجهی طبق رابطه زیر به هم مرتبط می‌سازد:

 حال بگذارید رویه‌ای با سوراخ را در نظر بگیریم و آن را به نواحی محصور با یال‌های وصل کننده‌ی رئوس نصب شده به یکدیگر در آن رویه تقسیم کنیم. زمانی که این کار انجام گرفت، می‌توان تعداد رئوس، یال‌ها و وجه‌ها را شمرد. در این صورت، به ازای هر تقسیم، عبارت اویلر یعنی همواره دارای مقدار یکسانی است که مشخصه‌ی اویلر آن رویه نامیده می‌شود:

اگر رویه بدون سوراخ باشد (یعنی )، همان‌گونه که در حالت چندوجهی‌های معمولی بود، فرمول مورد بحث به فرمول اویلر، یعنی تبدیل می‌شود. در حالت یک سوراخ (یعنی )، مکعب با یک تونل خواهیم داشت که در آن فرمول زیر برقرار است:



رویه‌های یک‌طرفه

یک رویه به طور معمول، دارای دو طرف است. بیرون یک توپ با درون آن تفاوت دارد و تنها راه عبور از یک طرف به طرف دیگر، سوراخ کردن توپ است؛ عمل برشی که در توپولوژی مجاز نیست (می‌توانیم گسترش یا کش دهیم اما نمی‌توانیم ببریم). یک تکه کاغذ، مثال دیگری از یک رویه با دو طرف است، زیرا تنها مکانی که در آن یک طرف با طرف دیگر برخورد می‌کند،در امتداد خم محصور کننده‌ای است که از لبه‌های کاغذ ساخته شده است.

ایده‌ی رویه‌ی یک‌طرفه دور از ذهن به نظر می‌رسید. با این وجود، مورد مشهوری از آن را آگوست موبیوس، ریاضی‌دان و منجم آلمانی در قرن نوزدهم کشف کرد. برای ساختن چنین رویه‌ای، نوار کاغذی برمی‌داریم، یک پیچ به آن می‌دهیم، سپس سر‌های آن را به هم می‌چسبانیم. نتیجه نوار موبیوسی یعنی، رویه‌ای یک‌طرفه با یک خم مرزی است. اکنون می‌توان مدادی برداشت و شروع به کشیدن خطی در وسط آن کرد. در این صورت طولی نمی‌کشد که به نقطه آغاز برمی‌گردید.

حتی داشتن رویه‌ی یک‌طرفه‌ای که خم مرزی نداشته باشد، امکان‌پذیر است. به این رویه "بطری کلاین" می‌گویند که به نام فلیکس کلاین ریاضی‌دان آلمانی نام‌گذاری شده است. نکته جالب در مورد این بطری آن است که خود را قطع نمی‌کند، گرچه ساختن مدلی از بطری کلاین در فضای سه بعدی بدون قطع فیزیکی امکان‌پذیر نیست، زیرا این بطری دقیقاً در فضایی چهاربعدی زندگی می‌کند، جایی که در آن تقاطعی نخواهد داشت.

هر دوی این رویه‌ها، مثالی از شکلی است که توپولوژیست‌ها آن را منیفلد یا خمینه می‌نامند؛ یعنی رویه‌های هندسی که اگر بخش‌های کوچک توسط خودشان در نظر گرفته شوند، مانند تکه‌هایی از کاغذ دوبعدی به نظر می‌آیند. چون بطری کلاین بی‌مرز است به 2-منیفلد "بسته" موسوم است.