تبلیغات

به سایت رسمی گروه ریاضی خیام خوش آمدید



پیشنهاد می کنیم برای نمایش بهتر سایت از مرورگرهای Firefox یا Google Chrome استفاده کنید

     

حذف لودینگ

گروه ریاضی خیام - دانشگاه گیلان - آشنایی با نظریه گروه‌ها

آشنایی با نظریه گروه‌ها

شنبه 27 آبان 1391 16:01
تعداد بازدیدها : 

تعداد نظرات ارسال شده : 

آخرین ویرایش : شنبه 27 آبان 1391

موضوع : تاریخ ریاضیات، جالب و خواندنی، آموزش ریاضی،

نظریه گروه‌ها

گروه (Group) از جمله مهم‌ترین ساختارهای جبری است که نقش اساسی در جبر مجرد دارد و در علوم مختلف مانند بلورشناسی، فیزیک، کوانتوم و ... از اهمیت بالایی برخوردار است. فکر تشکیل نظریه گروه‌ها زمانی شکل گرفت که ریاضیدانان مشاهده کردند ساختارهایی را که مطالعه می‌کنند در خواصی مشترک هستند و اگر بتوانند همه این خواص را در مورد یک ساختار مشخص بررسی کنند در حقیقت بخش وسیعی از ساختارهای مشابه را مطالعه کردند و به این ترتیب در زمان صرفه‌جویی می‌شود. شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه گروه‌ها اختصاص دارد را نظریه گروه (Group Theory) می‌گوییم.


تاریخچه

نظریه گروه‌ها به وسیله چهار شاخه عمده از ریاضیات؛ جبر کلاسیک، نظریه اعداد، هندسه و آنالیز رشد و گسترش یافت. جبر کلاسیک در سال 1770 با کارهای ژوزف لویی لاگرانژ بر روی معادلات چندجمله ای پایه‌گذاری شد. نظریه اعداد به وسیله کارل فردریش گاوس در سال 1801 مورد مطالعه و گسترش هر چه بیشتر قرار گرفت و سی.اف.کلاین در زمینه هندسه و ارتباط تبدیلات هندسی و گروه‌ها کارهای بسیار انجام داده است به طوری که او را پدر این بخش از نظریه گروه‌ها می‌دانند و بنیان‌گذاران شاخه آنالیز نیز هنری پوانکاره، اس.لی لای و سی.اف کلاین هستند.

بهر حال اویلر(Euler)، گاوس(Gauss)، لاگرانژ(Lagrange)، آبل(Abel) و ریاضیدان فرانسوی گالوا(Galois) اولین کسانی بودند که در زمینه نظریه گروه‌ها به تحقیق پرداخته بودند. خصوصاً گالوا به دلیل قضیه اساسی خود که رابطی بین گروه‌ها و حلقه‌ها است و امروزه آن را قضیه گالوا می‌خوانند بسیار مورد توجه است. اولین کاربرد گروه‌ها در توصیف تأثیر جایگشت‌های ریشه‌های یک معادله چند جمله‌ای بوده است که به وسیله لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفته است که بر مبنای همین او توانست نظریه جانشانی را سازمان دهد. او کشف کرد که ریشه‌های همه مواردی را که او امتحان کرده است توابعی گویا از ریشه‌های معادلات متناظرشان هستند. پس از او رافینی در تلاش برای اثبات عدم وجود راه حل مستقیم برای حل معادلات درجه پنجم و بالاتر گام‌های دیگری را در زمینه نظریه گروه‌ها برداشت.

بعد از او گالوا نخستین اثر خود را در مورد نظریه گروه‌ها در سن 18 سالگی(1829)منتشر ساخت. اما کمک‌های او تا قبل از انتشار مجموعه مقالاتش در سال 1846 مورد توجه قرار نگرفت. بعد از او آرتور کیلی و آگوستین لویی کوشی به اهمیت کارهای گالوا پی بردند و به تحقیقات بیشتر در این زمینه پرداختند. از جمله ریاضیدانانی که در قرن نوزدهم در زمینه نظریه گروه‌ها کار می‌کردند می‌توان برتراند،چارلز هرمیت، فروبنیوس و لئوپارد کرونکر و امیل ماتیو را نام برد.

تا آن زمان اصول موضوع معینی برای تعریف گروه وجود نداشت. در سال 1854 کیلی اولین اصول موضوع را برای گروه‌ها ارائه داد اما تعریف وی به زودی فاقد ارزش شد. در سال 1870، کرونکر مجدداً اصول موضوعی را برای گروه‌ها پایه گذاشت. همچنین اچ.وبر در سال 1882، تعریفی برای گروه‌های متناهی و در سال 1883 تعریفی برای گروه‌های نامتناهی انجام داد. والتر فون دایک در سال 1882 اولین تعریف مدرن از گروه را ارائه داد. مطالعه گروه‌های لای و زیرگروه‌های گسسته‌شان و گروه‌های تبدیلی در سال 1884 به طور منظم توسط سوفوس لای شروع شد. امروزه نظریه گروه‌ها به بنیادی‌ترین نظریه‌ها در جبر مجرد تبدیل شده است و منبع تحقیقات فراوانی برای ریاضیدانان است.

تعریف گروه

ابتدا یادآوری می‌کنیم که یک ساختمان جبری عبارت است از یک مجموعه به همراه یک یا چند عمل دوتایی و رابطه که روی آن مجموعه تعریف شده است. گروه نیز از جمله ساختمان‌های جبری است. ساختمان جبری (*,G) (مجموعه G به همراه عمل دوتایی *) یک گروه است هرگاه واجد شرایط زیر باشد:

- عمل * در G شرکت پذیر باشد. یعنی برای هر a,b,c ∈ G داشته باشیم a*(b*c)=(a*b)*c.
- G نسبت به عمل * دارای عضو خنثی باشد، یعنی عضوی چون e∈G موجود باشد که برای هر a∈G، داشته باشیم a*e=e*a=a.
- هر عضو G نسبت به عمل * دارای عضو معکوس باشد، یعنی برای هر a∈G عضوی چون b∈G موجود باشد که a*b=b*a=e.

منشأ این اصول بر حسب تجربه و متأثر از تاریخ مطالعه گروه‌ها است.در تعریف یک گروه لازم نیست که عمل تعریف شده در گروه G، جابجایی(تعویض پذیر) باشد اما برخی از گروه‌ها دارای این خاصیت هستند. این گروه‌ها از اهمیت ویژه‌ای برخوردارند و به افتخار نیلز هنریک آبل گروه‌های آبلی نامیده می‌شوند. همچنین گروه G دارای تعداد متناهی عضو باشد، G را گروه متناهی می‌گوییم. به تعداد عناصر یک گروه مرتبه گروه می‌گوییم. 
قرار داد: همان‌طور که در مورد هر ساختمان جبری عمل می‌شود برای سهولت در نوشتن، بجای a*b می‌نویسیم ab.

مرتبه گروه

به تعداد عناصر هر گروه مرتبه آن گروه می‌گوییم. اگر تعداد عناصر یک گروه متناهی باشد، می‌گوییم ان گروه از مرتبه متناهی یا متناهی است و در غیر این صورت گروه را نامتناهی می‌نامیم. مرتبه گروه G را با |G| نشان می‌دهیم.
قضیه لاگرانژ در مورد گروه‌های متناهی بیان می‌کند، مرتبه هر زیرگروه از یک گروه، مرتبه آن گروه را عاد می‌کند. یعنی اگر H زیرگروهی از گروه متناهی G باشد آنگاه:

| H | | | G |

(البته ممکن است عددی مرتبه گروه را عاد کند ولی آن گروه شامل زیرگروهی با آن مرتبه نباشد که نشان می‌دهد عکس قضیه فوق همیشه برقرار نیست)